Linear response

除了基态属性，VASP还可以计算系统如何对外部微扰作出反应。例如：

• 外部电场
• 原子位移
• 均匀应变

如果扰动很小，可以将其限制在一阶，则响应处于线性状态，可以通过线性响应理论进行计算。

线性响应的一个中心量是介电函数，它可以将外部电场与内部电位移联系起来。对原子位移的响应包括声子和电子—声子相互作用。利用均匀应变的响应，结合对外部电场的响应可以计算弹性张量和压电张量。

1 Polarization

周期性系统中的极化可以使用极化的 berry 相公式（通常称为现代极化理论）计算。

严格而言，极化以及有限电场的应用都是基态属性，但是，因为它们可以用来计算静态介电张量、Born有效电荷和压电张量这些响应属性，因此在此处指出这种方法。

该方法通过设置 LCALCPOL 对系统施加一个有限电场计算电子极化。

2 Static linear response

微扰恒定的响应称为静态响应。不同的静态响应可以理解为总能量相对于不同外部扰动的导数。

对总能量$E$进行泰勒展开，得到

$$\begin{aligned} E(u,\mathcal{E},\eta)=&E_{0}+ \\ &\frac{\partial E}{\partial u_{m}}u_{m}+\frac{\partial E}{\partial\mathcal{E}_{\alpha}}\mathcal{E}_{\alpha}+\frac{\partial E}{\partial\eta_{j}}\eta_{j}+ \\ &\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}E}{\partial u_{m}\partial u_{n}}u_{m}u_{n}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}E}{\partial\mathcal{E}_{\alpha}\partial\mathcal{E}_{\beta}}\mathcal{E}_{\alpha}\mathcal{E}_{\beta}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}E}{\partial\eta_{j}\partial\eta_{k}}\eta_{j}\eta_{k}+ \\ &\frac{\partial^{2}E}{\partial u_{m}\partial\mathcal{E}_{\alpha}}u_{m}\mathcal{E}_{\alpha}+\frac{\partial^{2}E}{\partial u_{m}\partial\eta_{j}}u_{m}\eta_{j}+\frac{\partial^{2}E}{\partial\mathcal{E}_{\alpha}\partial\eta_{j}}\mathcal{E}_{\alpha}\eta_{j}+\mathrm{terms~of~higher~order} \end{aligned}$$

• 能量相对于电场的导数是极化：

  $$P_{\alpha}=-\frac{\partial E}{\partial\mathcal{E}_{\alpha}}\quad\mathrm{polarization}$$

• 能量相对于原子位移的导数是力：

  $$F_{m}=-\Omega_{0}\frac{\partial E}{\partial u_{m}}\quad\mathrm{forces}$$

• 能量相对于晶格矢量的导数是应力张量：

$$\sigma_{j}=\frac{\partial E}{\partial\eta_{j}}\quad\mathrm{stresses}$$

由此引出clamped-ion或frozen-ion的定义：

$$\begin{gathered} \bar{\chi}_{\alpha\beta}=-\frac{\partial^{2}E}{\partial\mathcal{E}_{\alpha}\partial\mathcal{E}_{\beta}}|_{u,\eta}\quad\mathrm{dielectric~susceptibility} \\ \bar{C}_{jk}=\frac{\partial^{2}E}{\partial\eta_{j}\partial\eta_{k}}|_{u,\mathcal{E}}\quad\mathrm{elastic~tensor} \\ \Phi_{mn}=\Omega_{0}\frac{\partial^{2}E}{\partial u_{m}\partial u_{n}}|_{\mathcal{E},\eta}\quad\mathrm{force-constants} \\ \bar{e}_{\alpha k}=\frac{\partial^{2}E}{\partial\mathcal{E}_{\alpha}\partial\eta_{k}}|_{u}\quad\mathrm{piezoelectric~tensor} \\ Z_{m\alpha}^{*}=-\Omega_{0}\frac{\partial^{2}E}{\partial u_{m}\partial\mathcal{E}_{\alpha}}|_{\eta}\quad\mathrm{Born~effective~charges} \\ \Xi_{mj}=-\Omega_{0}\frac{\partial^{2}E}{\partial u_{m}\partial\eta_{j}}|_{\mathcal{E}}\quad\mathrm{force~response~internal~strain~tensor} \end{gathered}$$

为了与实验结果进行比较，静态响应属性应考虑离子弛豫。通过以上泰勒展开并关注能量最小时的离子位置，得到

$$\tilde{E}(\mathcal{E},\eta)=\min_{u}E(u,\mathcal{E},\eta)$$

物理relaxed-ion张量定义为：

$$\begin{aligned} \chi_{\alpha\beta} &=\bar{\chi}_{\alpha\beta}+\Omega_{0}^{-1}Z_{m\alpha}^{*}(\Phi)_{mn}^{-1}Z_{n\beta}^{*} \quad\mathrm{dielectric~susceptibility} \\ C_{jk} &=\bar{C}_{jk}+\Omega_{0}^{-1}\Xi_{mj}(\Phi)_{mn}^{-1}\Xi_{nk} \quad\mathrm{elastic~tensor} \\ e_{\alpha j} &=\bar{e}_{\alpha j}+\Omega_{0}^{-1}Z_{m\alpha}^{*}(\Phi)_{mn}^{-1}\Xi_{nj} \quad\mathrm{piezoelectric~tensor} \end{aligned}$$

每个方程右侧第二项称为离子对介电极化率、弹性张量和压电张量的贡献。

• 离子对介电张量的贡献

  $$\epsilon_{ij}^{\mathrm{ion}}=\frac{4\pi}{\Omega}\sum_{kl}Z_{ik}^{*}\Phi_{kl}^{-1}Z_{lj}^{*}$$

• 离子对弹性张量的贡献

  $$C_{ik}^{\mathrm{ion}}=\sum_{kl}\Xi_{ij}\Phi_{jk}^{-1}\Xi_{kl}$$

• 离子对压电张量的贡献

  $$e_{ij}^{\mathrm{ion}}=\sum_{kl}Z_{ij}^{*}\Phi_{jk}^{-1}\Xi_{kl}$$

2.1 Dielectric tensor

静态介电张量可以通过有限外电场极化的有限差分 LCALCEPS 或使用密度泛函微扰理论 LEPSILON 计算。

⚠️Note: LEPSILON 和 LCALCEPS 都能对介电张量产生相同的收敛结果，但是

• LEPSILON只能用于局域或半局域交换关联泛函，并且适用于半导体和金属；
• LCALCEPS可用于 meta-GGA 或杂化泛函，但仅适用于具有带隙的体系。

2.2 Born effective charges - VASP Wiki

原子位移引起的极化变化在周期性系统中不是唯一定义的。周期性体系中的原子在不同的晶胞中重复，电荷可以广义化。Born有效电荷是定义这种动态电荷的一种方法。

Born有效电荷描述了体系的极化如何随离子的位置而变化，等价于一个电场诱导产生作用在离子上的力。一般而言，Born有效电荷是一个张量，也就是说，离子的极化方向和位移方向不一定平行。Born有效电荷有助于理解材料对外部刺激的响应，例如压电和铁电行为。

2.2.1 Introduction

动态电荷定义为晶胞体积$\Omega_{0}$乘以宏观极化 P 在 i 方向上相对于原子$\kappa$亚晶格在 j 方向上的刚性位移的偏导数。

然而，极化在周期性系统中并不是唯一定义的，它依赖于由周期性边界条件固定的宏观电场$\mathcal{E}_{i}$。Born有效电荷$Z^$是宏观电场为零时极化对位置 *u 的偏导数。由于极化是总能量相对于宏观电场的一阶导数，所以$Z^{}$可以用原子$\kappa$在 *j 方向上的力 F 对$\mathcal{E}_{i}$的偏导数来重新排列：

Mind:

• *不表示复共轭，$Z^{*}$始终是实数；
• $Z^*$在VASP中以 $\vert e\vert$ 为单位给出；
• VASP输出$Z_{ij}^{}$，其中 *i 表示宏观电场，j 表示力的方向。在文献中，$Z_{ji}^{}$很常见，即力方向 *j 后跟电场方向 i。

2.2.2 How to calculate

VASP实现了两种计算Born有效电荷的方法：

1. LCALCEPS = .TRUE.

   通过沿三个笛卡尔方向施加有限电场并计算原子上的合力；

2. LEPSILON = .TRUE.

   使用密度泛函微扰理论 （DFPT） 计算波函数相对于电场的导数。

以上方法可以与 IBRION 结合使用，以获得额外的介电特性：

IBRION = 5 or 6 ! Calculated using finite differences.
IBRION = 7 or 8 ! Calculated using DFPT

Born 有效电荷将在 OUTCAR 文件中给出：

BORN EFFECTIVE CHARGES (including local field effects) (in |e|, cummulative output)
BORN EFFECTIVE CHARGES (excluding local field effects) (in |e|, cummulative output)

局域场效应 - local field effects

局域场效应是指电场引起的轨道变化导致Hartree势和交换关联势的变化。可以通过设置 LRPA 以仅包含Hartree势的变化：

LRPA = .TRUE.
LCALCEPS = .TRUE. ! N.B. LEPSILON does not output the final Born effective charges.

这通常被称为**随机相位近似 (Random Phase Approximation, RPA) **中的响应，或“忽略局域场效应”。

2.3 Piezoelectric tensor

压电张量可以使用 LCALCEPS 通过有限电场的有限差分来计算，也可以使用 LEPSILON 通过DFPT结合 IBRION = 5,6 or 7,8 计算。

2.4 Elastic tensor

通过 IBRION = 5,6 结合 ISIF = 3 ，使用应变有限差分计算弹性张量。

⚠️Note: 由于在DFPT中没有实现应变扰动，因此不能使用 IBRION = 7,8 来计算弹性张量。

2.5 Internal strain tensor

内部应变张量可以使用 IBRION = 5,6 通过有限差分计算，或者通过 IBRION = 7,8 使用DFPT计算。

3 Dynamic response

微扰随时间变化的响应称为动态响应。VASP中实现了不同的方法和理论层次来计算频率依赖的介电张量。其中最简单的方法是使用Green-kubo公式，通过 LOPTICS 设置。但是Green-kubo公式忽略了局域场效应，这意味着当频率为零（静态极限）时，如果LRPA = .TRUE.，只能通过DFPT或有限电场的有限差分重现计算。若要包含局域场效应，应使用 ALGO = CHI。此外，设置 ALGO = BSE 使用多体微扰理论框架中的Bethe-Salpeter方程计算介电函数，可以考虑电子-空穴相互作用。

Calculation Details

提示：以下计算开始前均需要进行结构优化与静态自洽，并将静态自洽计算得到的WAVECAR文件复制到相应的计算目录。

1 Static response with finite differences

INCAR 示例：

ISMEAR = 0
SIGMA  = 0.01
EDIFF  = 1E-6
ENCUT  = 400

! finite differences for polarization
LCALCPOL    = T 
LCALCEPS    = T   
LPEAD       = T     
EFIELD_PEAD = 0.01 0.01 0.01
IPEAD       = 4

! finite differences for ionic displacements
IBRION   = 6       
POTIM    = 0.015
NFREE    = 2

ISIF     = 3

⚠️Notes:

• 电场太强可能会发生齐纳隧穿 (Zener tunneling)，可以通过减少 $K$ 点数量、通过 EFIELD_PEAD 设置减小电场；
• LPEAD = .TRUE. 不支持金属体系。

2 Static dielectric response within DFPT

INCAR 示例：

SYSTEM = AlP

ISMEAR = 0
SIGMA  = 0.01
EDIFF  = 1E-6
ENCUT  = 400

LASPH  = T 

! finite differences for electric field
LPEAD       = T   

! dfpt for polarization
LEPSILON = T     

! dfpt for ionic displacements
IBRION   = 8

⚠️Notes:

• 与 LCALCEPS 相比，LEPSILON 适用于金属体系。
• 有限差分和DFPT两种方法都没有对未占据状态求和。
• 目前 LEPSILON 不能用于明确依赖于轨道的交换关联泛函，例如类 HF 和杂化泛函。

3 Frequency-dependent dielectric response

完整的频率相关介电函数包括电子和离子贡献。这些必须在 DFT 运行的基础上单独计算，然后相加：

介电函数的虚部和实部通过Kramers-Kronig 关系联系：

从频率相关的介电函数出发，可以计算其他光学特性，例如反射率、吸收率和光电导率。

Electron - INCAR:

ALGO   = Exact
ISMEAR = 0
SIGMA  = 0.01
EDIFF  = 1.E-6

LASPH  = T

! electronic dielectric function with Kramers-Kronig
LOPTICS  = T    ! frequency-dependent dielectric matrix
CSHIFT   = 0.1  ! complex shift (default)
NBANDS   = 32   ! sum over unoccupied bands
NEDOS    = 2000 ! frequency grid

Ion:dfpt - INCAR:

ALGO   = Normal
PREC   = High
ISMEAR = 0
SIGMA  = 0.01
EDIFF  = 1.E-8

! ionic dielectric function with Kramers-Kronig
! option 1: using purely DFPT
IBRION   = 8
LEPSILON = T

Ion:finite-differences - INCAR:

ALGO   = Normal
ISMEAR = 0
SIGMA  = 0.01
EDIFF  = 1.E-6

! ionic dielectric function with Kramers-Kronig
! option 2: using purely a finite differences approach
IBRION   = 6
NFREE    = 2
POTIM    = 0.015
TIME     = 0.1

LPEAD    = T
LCALCEPS = T

⚠️Notes:

• 周期性体系的电子极化是$-fe/(2\pi)^3$乘以所有占据态的Berry相$\int_{BZ}\mathrm{d}\mathbf{k}\left\langle u_{n\mathbf{k}}^{(\mathcal{E}_{i})}\right

  \mathrm{i}\nabla_{\mathbf{k}}\left

  u_{n\mathbf{k}}^{(\mathcal{E}_{i})}\right\rangle$之和。

• LOPTICS = .TRUE. 引入了未占据状态之和！因此必须设置 NBANDS以包含足够的未占据带。换言之，极化应该随着 NBANDS 的增加而收敛。

• POTCAR 推荐采用GW赝势。因为在标准DFT计算中，未占据带对基态性质如总能量等没有贡献。为GW计算构建的赝势可以用于描述费米能级以上的性质。因此，当增加 NBANDS 时，通常应该选择用于GW计算的赝势。

• 声子频率与离子对介电函数的贡献有何关系？

  如果一个声子模式是dipole-active的，它将出现在频率依赖的介电函数中。 如果声子模式中所有离子的电偶极矩在一个周期内大小发生变化，则这个声子模式是dipole-active的。这是动力学矩阵中特征向量的情况。

• 单位转换：

  频率的单位是

  $$[\omega]=\sqrt{\frac1{[m_{\mathrm{ion}}]}\left[\frac{\partial^2E}{\partial u_i\partial u_j}\right]}$$

  POMASS以原子质量单位 (a.m.u.) 给出：

  $$[m_{\mathrm{ion}}]=1.660599\cdot10^{-27}\text{kg}$$

  将能量用 $eV$ 表示，离子位移用 $\mathring{A}$ 表示，则频率单位可以用 SI 表示为

  $$\begin{aligned} 1[\omega]&=\sqrt{\frac{\mathrm{eV/\mathring{A}}^2}{\mathrm{a.m.u.}}}\\&=\sqrt{\frac{1.602176487\cdot10^{-19}\mathrm{J/(10^{-20}m^{2})}}{1.660599\cdot10^{-27}\mathrm{kg}}}\\&=\sqrt{\frac{16.02176487\mathrm{J/m^{2}}}{1.660599\cdot10^{-27}\mathrm{kg}}}\\&=9.822517\cdot10^{13}\mathrm{s}^{-1} \end{aligned}$$

  其他典型频率单位：

  1. $eV$
  $$\begin{aligned} x[E_{\mathrm{phonon}}]&=1[\omega]\cdot\hbar\\&=9.822517\cdot10^{13}s^{-1}\times1.054572\cdot10^{-34}\mathrm{Js}\\&=1.035855\cdot10^{-20}\mathrm{J}\\&=0.064652976 \mathrm{eV} \end{aligned}$$
  1. $THz$
  $$\begin{aligned} x[\nu]&=1[\omega]/2\pi\\&=98.22517/(2\pi)\cdot10^{12}\text{Hz}\\&=15.6330214\text{ THz} \end{aligned}$$
  1. $cm^{-1}$
  $$\begin{aligned} x[\lambda^{-1}]&=1[\nu]/c\\&=\frac{15.6330214\cdot10^{12}\mathrm{s}^{-1}}{29979245800\mathrm{~cm/s}}\\&=521.46146389\mathrm{~cm}^{-1} \end{aligned}$$

  综合上述推导，得到

$$1\mathrm{~THz}=4.1357\mathrm{~meV}=33.356\mathrm{~cm}^{-1}\\1\mathrm{~meV}=0.242\mathrm{~THz}=8.066\mathrm{~cm}^{-1}\\1\mathrm{~cm}^{-1}=0.030\mathrm{~THz}=0.124\mathrm{~meV}.$$

Ref:

• Linear response - VASP Wiki
• Static linear response: theory - VASP Wiki
• Phys. Rev. B 58, 6224 (1998)
• Phys. Rev. B 55, 10355 (1997)
• Phys. Rev. B 72, 035105 (2005)
• Born effective charges - VASP Wiki
• Phys. Rev. B 73, 045112 (2006)
• Linear response - Part 1