Elastic Mechanics
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二阶弹性常数（SOECs）控制着材料的力学性质，对材料的稳定性和刚度有重要影响。
弹性常数（Elastic Constants）
在材料线弹性范围内，固体对外加应变$\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4,\varepsilon_5,\varepsilon_6)$的应力响应$\sigma=\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4,\sigma_5,\sigma_6)$满足广义胡克定律(Hooke’s law)：
\[\sigma_i=\sum_{j=1}^6C_{ij}\varepsilon_j\]其中应变$\sigma_i$和应力$\varepsilon_j$分别表示为具有6个独立分量的向量，即$1\leq i, j\leq6$。
$C_{ij}$是以$GPa$为单位的$6 \times 6$对称矩阵表示的二阶弹性刚度张量，可由应力-应变曲线的一阶导数确定。
\[C_{ij}=\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2223}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3332}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{pmatrix}\]弹性常数$C_{ij}$是应力对应变展开线性项的系数，$i$代表应力方向，$j$代表应力引起的应变方向。
| XX | YY | ZZ | YZ(ZY) | ZX)(XZ) | XY(YX) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
可以证明：$C_{ij}=C_{ji}$，因此独立弹性常数最多有21个。独立弹性常数的个数取决于晶体的对称性。对称性越低，独立弹性常数越多。
$S_{ij}$为柔度张量的分量，对应于弹性张量的逆矩阵，即$[ S_{ij} ] = [ C_{ij} ]^{-1}$，单位为$GPa^{-1}$。
Born弹性稳定性判据
Sufficient and necessary conditions for mechanical stability:
Cubic
\[C_{11}-C_{12}>0,\quad C_{11}+2C_{12}>0,\quad C_{44}>0\]Hexagonal & Tetragonal(Ⅰ)
\[\begin{aligned}&C_{11}>|C_{12}|,\quad2C_{13}^2<C_{33}(C_{11}+C_{12}),\\&C_{44}>0,\quad C_{66}>0\end{aligned}\]Tetragonal(Ⅱ)
\[C_{11}>|C_{12}|,\quad2C_{13}^2<C_{33}(C_{11}+C_{12}),\\C_{44}>0,\quad2C_{16}^2<C_{66}(C_{11}-C_{12})\]Rhombohedral(Ⅰ)
\[\begin{aligned}&C_{11}>|C_{12}|,\quad C_{44}>0,\\&C_{13}^{2}<\frac12C_{33}(C_{11}+C_{12}),\\&C_{14}^{2}<\frac12C_{44}(C_{11}-C_{12})\equiv C_{44}C_{66}\end{aligned}\]Rhombohedral(Ⅱ)
\[\begin{aligned} C_{11}& >|C_{12}|,\quad C_{44}>0, \\ C_{13}^2& <\frac12C_{33}(C_{11}+C_{12}), \\ C_{14}^2+C_{15}^2& <\frac12C_{44}(C_{11}-C_{12})\equiv C_{44}C_{66} \end{aligned}\]Orthorhombic
\[\begin{aligned}&C_{11}>0,\quad C_{11}C_{22}>C_{12}^2,\\&C_{11}C_{22}C_{33}+2C_{12}C_{13}C_{23}-C_{11}C_{23}^2-C_{22}C_{13}^2-C_{33}C_{12}^2>0,\\&C_{44}>0,\quad C_{55}>0,\quad C_{66}>0\end{aligned}\]Monoclinic & Triclinic
Not shown here given the complexity of the equations and solution.
You can refer to this article for details.
弹性模量（Elastic modulus）
体积模量 & 剪切模量
多晶材料的晶粒是随机取向的，在统计意义上，这类材料可以被认为是（准）各向同性。因此，体弹模量K和剪切模量G一般通过对单晶弹性常数取平均得到。
体积模量：材料的体积与各项均压的比值
剪切模量：剪切应力与应变的比值
目前应用最广泛的三种平均方法是：
Voigt average
Reuss average
Hill average
Hill证明了Voigt和Reuss弹性模量分别是严格的上界和下界，二者的算术平均值称为Voigt-Reuss-Hill ( VRH ) average，它能更好地近似多晶材料的实际弹性行为。
Voigt average
\[\left.\left\{\begin{array}{c}9K_V=(C_{11}+C_{22}+C_{33})+2(C_{12}+C_{23}+C_{31})\\15G_V=(C_{11}+C_{22}+C_{33})-(C_{12}+C_{23}+C_{31})+4(C_{44}+C_{55}+C_{66})\end{array}\right.\right.\]Reuss average
\[\left.\left\{\begin{array}{c}K_R^{-1}=(S_{11}+S_{22}+S_{33})+2(S_{12}+S_{23}+S_{31})\\15G_R^{-1}=4(S_{11}+S_{22}+S_{33})-4(S_{12}+S_{23}+S_{31})+3(S_{44}+S_{55}+S_{66})\end{array}\right.\right.\]Voigt-Reuss-Hill(VRH) average
\[K=\frac{1}{2}(K_{V}+K_{R})\\~\\G=\frac{1}{2}(G_{V}+G_{R})\]杨氏模量 & 泊松比
\[\begin{aligned}E&=\frac{9KG}{3K+G}\\~\\\nu&=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}\end{aligned}\]杨氏模量：弹性限度内物体应力与应变的比值
泊松比：横向正应变与轴向正应变绝对值的比值
VASP计算
VASP可以计算弹性常数，进而得到材料的力学性能。 关键参数：
IBRON = 6
ISIF = 3
NFREE = 4 or 2
INCAR 参考：
SYSTEM = elastic_constants
ISTART = 0
ICHARG = 2
PREC = Accurate
ENCUT = 400
EDIFF = 1E-6
EDIFFG = -0.01
IBRION = 6
ISIF = 3
NFREE = 2
POTIM = 0.015
NSW = 1
NELM = 100
ISMEAR = 0
SIGMA = 0.05
KSPACING = 0.15
LCHARG = .FALSE.
LWAVE = .FALSE.
Appendix
| Crystal system | Point groups | Space groups | Number of independent SOECs $C_{ij}$ |
|---|---|---|---|
| Triclinic | 2($1$, $\bar1$) | 2(1-2) | 21 |
| Monoclinic | 3($2$, $m$, $2/m$) | 13(3-15) | 13 |
| Orthorhombic | 3($222$, $mm2$, $mmm$) | 59(16-74) | 9 |
| Tetragonal (Ⅱ) | 3($4$, $\bar4$, $4/m$) | 14(75-88) | 7 |
| Tetragonal (Ⅰ) | 4($422$, $4mm$, $\bar42m$, $4/mmm$) | 54(89-142) | 6 |
| Trigonal (Ⅱ) | 2($3$, $\bar3$) | 6(143-148) | 7 |
| Trigonal (Ⅰ) | 3($32$, $3m$, $\bar3m$) | 19(149-167) | 6 |
| Hexagonal | 7($6$, $\bar6$, $6/m$, $622$, $6mm$, $\bar6m2$, $6/mmm$) | 27(168-194) | 5 |
| Cubic | 5($23$, $m\bar3$, $432$, $\bar43m$, $m\bar3m$) | 36(195-230) | 3 |
Triclinic: 21 independent elastic constants
\[C_{ij}=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{pmatrix}\]Monoclinic: 13 independent elastic constants
\[C_{ij}=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&C_{15}&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&C_{25}&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&C_{35}&0\\0&0&0&C_{44}&0&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{46}&C_{66}\end{pmatrix}\]Orthorhombic: 9 independent elastic constants
\[C_{ij}=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{pmatrix}\]Tetragonal (Ⅱ): 7 independent elastic constants
\[C_{ij}=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&C_{16}\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&-C_{16}\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\C_{16}&-C_{16}&0&0&0&C_{66}\end{pmatrix}\]Tetragonal (Ⅰ): 6 independent elastic constants
\[C_{ij}=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{pmatrix}\]Trigonal (Ⅱ): 7 independent elastic constants
\[C_{ij}=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&-C_{14}&-C_{15}&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\C_{14}&-C_{14}&0&C_{44}&0&-C_{15}\\C_{15}&-C_{15}&0&0&C_{44}&C_{14}\\0&0&0&-C_{15}&C_{14}&\frac{C_{11}-C_{12}}2\end{pmatrix}\]Trigonal (Ⅰ): 6 independent elastic constants
\[C_{ij}=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&-C_{14}&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\C_{14}&-C_{14}&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&C_{14}\\0&0&0&0&C_{14}&\frac{C_{11}-C_{12}}2\end{pmatrix}\]Hexagonal: 5 independent elastic constants
\[C_{ij}=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&\frac{C_{11}-C_{12}}2\end{pmatrix}\]Cubic: 3 independent elastic constants
\[C_{ij}=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{pmatrix}\]Ref:
